Per E. Rosenqvist, Ph.D. Thesis

Niels Bohr Institute, Copenhagen 1995

Periodic orbit theory beyond semiclassics:
convergence, diffraction and h-bar corrections

Whole thesis

Individual chapters:

Cover, contents

Chapters 1,2,3: Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

2 The laboratory : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

2.1 Classical Pinball : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
2.2 Symmetries of the model : : : : : : : : : : : : : : 4
2.3 Symbolic coding : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2.4 Counting prime cycles : : : : : : : : : : : : : : : 7
2.5 Periodic orbits : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2.6 Cycle stability for billiards : : : : : : : : : : : 11
2.7 Orbit length minimization method : : : : : : : : 13

3 Classical periodic orbit theory 15

3.1 Flows, evolution operators and their spectra : : : 15
3.1.1 Trace formula for maps : : : : : : : : : : 15
3.1.2 Trace formula for flows : : : : : : : : : : : 16
3.1.3 Fredholm determinants : : : : : : : : : : 18
3.2 Cycle expansions : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
3.2.1 Curvature expansions : : : : : : : : : : : 20
3.2.2 Fredholm determinant cycle expansions : 20
3.2.3 Numerical calculations with cycle expansions : : : 21
3.2.4 Convergence of cycle expansions : : : : : 22
3.2.5 Symmetry factorizations : : : : : : : : : : 23

Chapters 4,5: Semiclassical periodic orbit quantization 25

4.1 The Van Vleck propagator : : : : : : : : : : : : : 25
4.2 The Gutzwiller-Voros zeta function : : : : : : : : 29

5 Convergence 32

5.1 Entire spectral determinants in semiclassics : : : 32
5.1.1 The quantum Fredholm determinant : : : 32
5.1.2 Abscissa of absolute convergence : : : : : 34
5.1.3 Numerical results : : : : : : : : : : : : : : 35
5.2 The quasi-classical approximation : : : : : : : : : 37
5.2.1 Time evolution : : : : : : : : : : : : : : : 43
5.3 Derivation of the trace integral : : : : : : : : : : 44
5.3.1 Finding periodic M solutions : : : : : : : 46
5.3.2 Symplectic matrices : : : : : : : : : : : : 49
5.3.3 The general M solution : : : : : : : : : : 49
5.3.4 Stabilities of the periodic curvature solutions : : 52
5.4 Validity of the entire determinant : : : : : : : : : 55
5.5 Conclusion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58

Chapter 6 Diffraction 60

6.1 The Geometrical theory of diffraction : : : : : : 60
6.2 The 1-disk Keller propagator : : : : : : : : : : : 65
6.3 The exact 1-disk propagator : : : : : : : : : : : : 67
6.3.1 The geometrical contribution : : : : : : : 70
6.3.2 The diffraction case : : : : : : : : : : : : 71
6.3.3 Fields diffracted by edges : : : : : : : : : 74
6.4 The general Keller propagator : : : : : : : : : : : 76
6.4.1 Connection to the trace formula : : : : : 76
6.4.2 The exact poles of the scattering matrix : 77
6.4.3 Cycle expansion of the diffraction spectral determinant : 81
6.5 Numerical results : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83
6.5.1 Results for the two-disk system : : : : : : 84
6.5.2 Results for the 3-disk scattering system : 85
6.5.3 Corrections to the Airy approximation : : 89
6.6 Discussion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

Chapters 7,8: h-bar corrections 93

7.1 _h corrections to the Gutzwiller trace formula : : 93
7.2 Path integrals and partial differential equations : 94
7.3 Analytic eigenbasis : : : : : : : : : : : : : : : : : 100
7.4 Stationary solutions : : : : : : : : : : : : : : : : 103
7.5 _h expansion in the analytic base : : : : : : : : : 104
7.6 The _h correction equations : : : : : : : : : : : : 106
7.7 Billards : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108
7.7.1 A numerical algorithm to calculate the first _h correction : 121
7.8 Application to the 3-disk system : : : : : : : : : 123
7.9 Conclusions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131

8 Perspectives 132

References

Appendices

9.1 Derivations and examples of chapter 5 : : : : : : 139
9.1.1 Alternative derivation of the curvature trace : : 141
9.2 Derivations and examples of chapter 6 : : : : : : 157
9.3 A program that calculates Cp(1)l : : : : : : : : : 161

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thesis text finalized 4 Dec 1995
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